{"id":607,"date":"2021-09-24T21:40:31","date_gmt":"2021-09-24T19:40:31","guid":{"rendered":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/?p=607"},"modified":"2022-01-23T22:41:08","modified_gmt":"2022-01-23T21:41:08","slug":"analiza-obwodow-transformujacych-impedancje-czesc-2-transformatory-z-linii-dlugiej-transmission-line-transformers-tlt-transformator-symetryczny-19","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/2021\/09\/24\/analiza-obwodow-transformujacych-impedancje-czesc-2-transformatory-z-linii-dlugiej-transmission-line-transformers-tlt-transformator-symetryczny-19\/","title":{"rendered":"Analiza obwod\u00f3w transformuj\u0105cych impedancj\u0119 \u2013 cz\u0119\u015b\u0107 2: transformatory z linii d\u0142ugiej (transmission line transformers – TLT), transformator symetryczny 1:9"},"content":{"rendered":"\n

Spis tre\u015bci:
1. Linie d\u0142ugie, transformacja impedancji przez lini\u0119 d\u0142ug\u0105<\/a>
2. Transformatory z linii d\u0142ugiej (transmission line transformers \u2013 TLT), transformator symetryczny 1:9 <\/p>\n\n\n\n

W poprzedniej cz\u0119\u015bci<\/a> zaj\u0119li\u015bmy si\u0119 liniami d\u0142ugimi i ich w\u0142a\u015bciwo\u015bciami. W tym wpisie wykorzystamy te linie do budowy ciekawszego urz\u0105dzenia, jakim b\u0119dzie transformator impedancji.<\/p>\n\n\n\n

W technice w. cz., szczeg\u00f3lnie wi\u0119kszej mocy, cz\u0119sto mo\u017cna spotka\u0107 si\u0119 z transformatorami wykonanymi z linii d\u0142ugiej (transmisyjnej), najcz\u0119\u015bciej z przewodu koncentrycznego. Transformatory takie wykorzystuj\u0105 bardzo dobre sprz\u0119\u017cenie mi\u0119dzy przewodnikami w linii d\u0142ugiej, tym samym pozwalaj\u0105c na stworzenie szerokopasmowych i (stosunkowo) niskostratnych transformator\u00f3w. W transformatorach tego typu nie ma separacji galwanicznej mi\u0119dzy obwodami. Po angielsku zwane s\u0105 transmission line transformers<\/em>, w skr\u00f3cie TLT<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Transformator niesymetryczny 1:4 (Ruthroff)<\/a> – rys. 1<\/figcaption><\/figure>\n\n\n

Na rysunku 1 przedstawiono niesymetryczny transformator o prze\u0142o\u017ceniu impedancji 1:4 wg opisu Ruthroffa. Przez dwie cewki oznaczono lini\u0119 d\u0142ug\u0105 o impedancji falowej $Z_0$. $Z_A=\\frac{Z_B}{4}$ dla (lekko abstrakcyjnego przypadku – ale udowadnialnego matematycznie) linii d\u0142ugiej o zerowej d\u0142ugo\u015bci. Dla niezerowej d\u0142ugo\u015bci linii prze\u0142o\u017cenie impedancji zaczyna by\u0107 zale\u017cne od impedancji falowej linii i jej d\u0142ugo\u015bci.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Transformator symetryczny 1:4 (Guanella)<\/a> – rys. 2<\/figcaption><\/figure>\n\n\n

Na rysunku 2 przedstawiono symetryczny transformator o prze\u0142o\u017ceniu impedancji 1:4 wg opisu Guanelli. Obydwie linie d\u0142ugie maj\u0105 identyczne d\u0142ugo\u015bci i impedancje falowe. Podobnie jak poprzednio, dla abstrakcyjnego przypadku linii o zerowej d\u0142ugo\u015bci, prze\u0142o\u017cenie impedancji jest r\u00f3wne $Z_A=\\frac{Z_B}{4}$. Dla linii o niezerowej d\u0142ugo\u015bci b\u0119dzie zale\u017cne od d\u0142ugo\u015bci linii i jej impedancji falowej. Tego typu transformator jest cz\u0119sto u\u017cywany jako transformator wyj\u015bciowy we wzmacniaczach mocy, gdzie elementy aktywne dzia\u0142aj\u0105 w uk\u0142adzie przeciwsobnym (push-pull).<\/p>\n\n\n\n

Osoby, kt\u00f3re pierwszy raz spotykaj\u0105 si\u0119 z tego typu transformatorami mog\u0105 si\u0119 mocno zastanawia\u0107, jak to w og\u00f3le dzia\u0142a. Niestety analiza takiego obwodu w oparciu o model typowego transformatora raczej nie doprowadzi nas do \u017cadnych wniosk\u00f3w, a ju\u017c na pewno nie pozwoli uwzgl\u0119dni\u0107 w\u0142a\u015bciwo\u015bci linii d\u0142ugich, kt\u00f3re maj\u0105 tutaj kluczowe znaczenie.
W takich transformatorach trzeba wzi\u0105\u0107 pod uwag\u0119 wzory opisuj\u0105ce linie d\u0142ugie i w taki spos\u00f3b przeanalizowa\u0107 obw\u00f3d. Linie d\u0142ugie i wzory, kt\u00f3rych b\u0119dziemy potrzebowa\u0107, zosta\u0142y om\u00f3wione w pierwszej cz\u0119\u015bci tej serii<\/a>.
Pokazane wy\u017cej transformatory to tylko dwa z wielu, kt\u00f3re mo\u017cna wykona\u0107. Zosta\u0142y one przytoczone jako przyk\u0142ad m. in. dlatego, \u017ce ju\u017c om\u00f3wi\u0142 je kolega K6JCA na swoim blogu<\/a> i bardzo polecam zapozna\u0107 si\u0119 z tym opracowaniem. Niemniej po dzisiejszym wpisie czytelnik powinien poradzi\u0107 sobie z analiz\u0105 powy\u017cszych uk\u0142ad\u00f3w samodzielnie, gdy\u017c zajmiemy si\u0119 innym, troch\u0119 bardziej skomplikowanym transformatorem.<\/p>\n\n\n\n

W tym wpisie przeanalizujemy transformator symetryczny o prze\u0142o\u017ceniu impedancji 1:9, kt\u00f3ry bardzo cz\u0119sto pojawia si\u0119 w schematach wzmacniaczy mocy na tranzystorach LDMOS na pasma KF. Powodem tej analizy jest to, \u017ce nigdzie nie uda\u0142o znale\u017a\u0107 mi si\u0119 oblicze\u0144 dla takiego transformatora. Uk\u0142ad wygl\u0105da jak przedstawiono na poni\u017cszym rysunku.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Transformator symetryczny 1:9 – rys. 3<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Nie uda\u0142o mi si\u0119 ustali\u0107, sk\u0105d tak naprawd\u0119 pochodzi ten uk\u0142ad. Mo\u017cna jednak zauwa\u017cy\u0107, \u017ce od transformatora 1:4 Guanelli r\u00f3\u017cni si\u0119 tylko po\u0142\u0105czeniem prawych stron wewn\u0119trznych indukcyjno\u015bci na „przeplot”, a nie bezpo\u015brednio do siebie (jak w przypadku 1:4). To przeplatane po\u0142\u0105czenie powoduje, \u017ce uk\u0142ad ten jest bardziej skomplikowany w analizie. Zaznaczmy zatem napi\u0119cia i pr\u0105dy w tym obwodzie.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Transformator symetryczny 1:9 z zaznaczonymi pr\u0105dami i napi\u0119ciami – rys. 4<\/figcaption><\/figure>\n\n\n

Przyjmujemy, \u017ce linie maj\u0105 d\u0142ugo\u015bci $L$. Pojawi\u0142o si\u0119 do\u015b\u0107 du\u017co tych oznacze\u0144, wi\u0119c na pocz\u0105tku sprawdzimy, co mo\u017cna upro\u015bci\u0107. Od razu wida\u0107, \u017ce $U_A=U_1=U_3$ (po\u0142\u0105czenie r\u00f3wnoleg\u0142e), a tak\u017ce \u017ce $I_2=I_4=I_B$ (po\u0142\u0105czenie szeregowe). Dalej analizuj\u0105c pr\u0105dy dochodzimy do wniosku, \u017ce $I_A=I_1+I_2+I_3$. Po dok\u0142adniejszym przyjrzeniu si\u0119 mo\u017cna zauwa\u017cy\u0107 te\u017c, \u017ce $U_B=U_1+U_2+U_4$. Nadal zostaje sporo zmiennych. Uk\u0142ad jest symetryczny, wi\u0119c nasuwa si\u0119 pytanie, czy $U_2=U_4$ oraz czy $I_1=I_3$?
\nPrzypomnijmy rozwi\u0105zania r\u00f3wna\u0144 linii d\u0142ugiej (oczywi\u015bcie stosuj\u0119 ju\u017c uproszczenia, kt\u00f3re ustalili\u015bmy przed chwil\u0105):
\n\\begin{align*}
\nU_4=U_{1}\\cos{\\beta L}-jI_{3}Z_{0}\\sin{\\beta L} \\\\
\nI_3=I_{2}\\cos{\\beta L}+j\\frac{U_{4}}{Z_{0}}\\sin{\\beta L}
\n\\end{align*}
\noraz
\n\\begin{align*}
\nU_2=U_{1}\\cos{\\beta L}-jI_{1}Z_{0}\\sin{\\beta L} \\\\
\nI_1=I_{2}\\cos{\\beta L}+j\\frac{U_{2}}{Z_{0}}\\sin{\\beta L}
\n\\end{align*}
\nW pierwszym uk\u0142adzie r\u00f3wna\u0144 podstawiamy za $I_3$, a w drugim za $I_1$, wymna\u017camy i otrzymujemy:
\n\\begin{align*}
\nU_4=U_{1}\\cos{\\beta L}-jI_{2}Z_{0}\\sin{\\beta L}\\cos{\\beta L}+U_{4}\\sin{^2\\beta L} \\\\
\nU_2=U_{1}\\cos{\\beta L}-jI_{2}Z_{0}\\sin{\\beta L}\\cos{\\beta L}+U_{2}\\sin{^2\\beta L}
\n\\end{align*}
\nPo przeniesieniu na jedn\u0105 stron\u0119 wyraz\u00f3w z, odpowiednio, $U_2$ i $U_4$ i por\u00f3wnaniu r\u00f3wna\u0144 stronami otrzymujemy:
\n\\[ U_4(1-\\sin{^2\\beta L})=U_2(1-\\sin{^2\\beta L}) \\]
\nTeraz przyjmujemy za\u0142o\u017cenie, \u017ce $\\sin{^2\\beta L}\\neq 1$, co jest r\u00f3wnoznaczne z tym, \u017ce linia d\u0142uga ma d\u0142ugo\u015b\u0107 r\u00f3\u017cn\u0105 od \u0107wierci d\u0142ugo\u015bci fali lub jej nieparzystej wielokrotno\u015bci (bo w\u00f3wczas sinus przyjmuje warto\u015b\u0107 1 lub -1). Wtedy mo\u017cemy bezpiecznie podzieli\u0107 obustronnie i otrzymujemy:
\n\\[ U_4=U_2 \\]
\nJak wida\u0107 napi\u0119cia te s\u0105 sobie r\u00f3wne pod warunkiem, \u017ce linia d\u0142uga ma d\u0142ugo\u015b\u0107 $L\\neq (2n+1)\\frac{\\lambda}{4}, n\\in N_0$. W innym przypadku napi\u0119cia te nie musz\u0105 by\u0107 sobie r\u00f3wne.
\nAnalogiczne rozumowanie przeprowadzamy dla $I_1$ oraz $I_3$, tym razem po prostu podstawiaj\u0105c w uk\u0142adzie r\u00f3wna\u0144 za $U_2$ i $U_4$. Ostatecznie dochodzimy do podobnego wniosku:
\n\\[ I_3=I_1 \\]
\no ile $L\\neq (2n+1)\\frac{\\lambda}{4}, n\\in N_0$.<\/p>\n\n\n\n

Mo\u017cemy teraz przyst\u0105pi\u0107 do w\u0142a\u015bciwych oblicze\u0144.
Linia o d\u0142ugo\u015bci r\u00f3\u017cnej od d\u0142ugo\u015bci \u0107wierci fali lub jej nieparzystej wielokrotno\u015bci<\/strong><\/p>\n\n\n

Linia ma d\u0142ugo\u015b\u0107 r\u00f3\u017cn\u0105 od d\u0142ugo\u015bci \u0107wierci fali lub jej nieparzystej wielokrotno\u015bci, wi\u0119c $\\sin{\\beta L}\\neq 1$, zatem spe\u0142niony jest warunek na r\u00f3wno\u015b\u0107 napi\u0119\u0107 $U_2=U_4$ i pr\u0105d\u00f3w $I_1=I_3$.
\nZ prawa Ohma wiadomo, \u017ce:
\n\\begin{align*}
\nZ_A=\\frac{U_A}{I_A}=\\frac{U_1}{2I_1+I_2} \\\\
\nZ_B=\\frac{U_B}{I_B}=\\frac{U_1+2U_2}{I_2}
\n\\end{align*}
\nPodstawiaj\u0105c r\u00f3wnania rozwi\u0105za\u0144 dla linii d\u0142ugich za $I_2$ oraz $U_2$:
\n\\begin{align*}
\nZ_A=\\frac{U_1}{2I_1+I_{1}\\cos{\\beta L}-j\\frac{U_1}{Z_0}\\sin{\\beta L}} \\\\
\nZ_B=\\frac{U_1+2U_{1}\\cos{\\beta L}-j2I_{1}Z_{0}\\sin{\\beta L}}{I_{1}\\cos{\\beta L}-j\\frac{U_1}{Z_0}\\sin{\\beta L}}
\n\\end{align*}
\nS\u0105 to og\u00f3lne wzory dla tego transformatora (oczywi\u015bcie po przej\u0119ciu za\u0142o\u017ce\u0144 co do d\u0142ugo\u015bci linii).<\/p>\n\n\n\n

1. Linia o zerowej d\u0142ugo\u015bci<\/strong> (i ca\u0142kowitych wielokrotno\u015bci d\u0142ugo\u015bci fali)<\/p>\n\n\n

Na pocz\u0105tku przyjmiemy do\u015b\u0107 abstrakcyjny przypadek, bowiem zak\u0142adamy, \u017ce linia ma zerow\u0105 d\u0142ugo\u015b\u0107.
\n$L=0$, wi\u0119c $\\sin{\\beta L}=0$ i $\\cos{\\beta L}=1$, zatem podstawiamy warto\u015bci i otrzymujemy:
\n\\begin{align*}
\nZ_A=\\frac{U_1}{3I_1} \\\\
\nZ_B=\\frac{3U_1}{I_1}
\n\\end{align*}
\nPo przekszta\u0142ceniu otrzymujemy ostateczny wniosek:
\n\\[ Z_A=\\frac{Z_B}{9} \\]
\nIstotnie, prze\u0142o\u017cenie transformatora wynosi 1:9. Oczywi\u015bcie linia zerowej d\u0142ugo\u015bci nie ma fizycznie zbyt sensownej interpretacji. Mo\u017cna jednak zauwa\u017cy\u0107, \u017ce $\\sin{\\beta L}=0$ i $\\cos{\\beta L}=1$ nie tylko dla zerowej d\u0142ugo\u015bci, ale tak\u017ce dla wielokrotno\u015bci ca\u0142ej d\u0142ugo\u015bci fali, zatem powy\u017cszy wz\u00f3r b\u0119dzie prawdziwy i w takich przypadkach.<\/p>\n\n\n\n

2. Linia o niezerowej d\u0142ugo\u015bci<\/strong><\/p>\n\n\n

Wr\u00f3\u0107my jeszcze raz do og\u00f3lnych wzor\u00f3w na impedancj\u0119.
\nPrzekszta\u0142camy ka\u017cde z r\u00f3wna\u0144 tak, \u017ce po jednej stronie wy\u0142\u0105czamy napi\u0119cie $U_1$, a po drugiej pr\u0105d $I_2$. Dostajemy nast\u0119puj\u0105ce r\u00f3wnania:
\n\\begin{align*}
\nU_{1}(1+2\\cos{\\beta L}+j\\frac{Z_B}{Z_0}\\sin{\\beta L})=I_{1}(Z_{B}\\cos{\\beta L}+j2Z_{0}\\sin{\\beta L}) \\\\
\nU_{1}(1+j\\frac{Z_A}{Z_0}\\sin{\\beta L})=I_{1}(2Z_{A}+Z_{A}\\cos{\\beta L})
\n\\end{align*}
\nZ jednego z r\u00f3wna\u0144 wyliczamy np. $U_1=…$ i wstawiamy do drugiego. Otrzymujemy pojedyncze r\u00f3wnanie i wymna\u017camy, \u017ceby nie mie\u0107 u\u0142amk\u00f3w. Jeden z wyraz\u00f3w powinien si\u0119 skr\u00f3ci\u0107, a wtedy otrzymujemy:
\n\\begin{align*}
\nZ_{B}\\cos{\\beta L}+j2Z_{0}\\sin{\\beta L}-2Z_{A}\\sin{^2\\beta L}= \\\\
\n=2Z_{A}+4Z_{A}\\cos{\\beta L}+j2\\frac{Z_{A}Z_{B}}{Z_0}\\sin{\\beta L}+Z_{A}\\cos{\\beta L}+2Z_{A}\\cos{^2\\beta L}
\n\\end{align*}
\nPrzekszta\u0142camy tak r\u00f3wnanie, \u017ceby tylko po jednej stronie pojawi\u0142y si\u0119 wyrazy z $Z_A$. Ponadto redukujemy jedynk\u0119 trygonometryczn\u0105 (kt\u00f3ra si\u0119 pojawi\u0142a) i dodajemy to, co si\u0119 da. Otrzymujemy ostateczny wz\u00f3r na impedancj\u0119:
\n\\[ Z_A=\\frac{Z_{B}\\cos{\\beta L}+j2Z_{0}\\sin{\\beta L}}{4+5\\cos{\\beta L}+j2\\frac{Z_B}{Z_0}\\sin{\\beta L}} \\]
\n\u0141atwo sprawdzi\u0107, \u017ce dla linii o zerowej d\u0142ugo\u015bci otrzymujemy $Z_A=\\frac{Z_B}{9}$.<\/p>\n\n\n

Wiemy ju\u017c, jak powy\u017cszy transformator transformuje impedancj\u0119 i umiemy j\u0105 policzy\u0107. Pytanie tylko, jak dobra\u0107 odpowiedni\u0105 impedancj\u0119 falow\u0105 linii oraz jej d\u0142ugo\u015b\u0107?
\nNa potrzeby dalszych rozwa\u017ca\u0144 przyjmijmy, \u017ce impedancja z prawej strony to typowa, „radiokomunikacyjna” impedancja $Z_B=50$, a ta z lewej jest 9 razy mniejsza, wi\u0119c jest r\u00f3wna $Z_A=5,556$.
\nNie b\u0119dziemy wykonywa\u0107 oblicze\u0144 na drodze analizy matematycznej, a numerycznie ustalimy optymalne warto\u015bci. Za\u0142\u00f3\u017cmy na pocz\u0105tek, \u017ce d\u0142ugo\u015b\u0107 linii to 5% d\u0142ugo\u015bci fali, a wi\u0119c przesuni\u0119cie fazy $\\beta L=\\frac{\\pi}{10}$.
\nZnaj\u0105c docelow\u0105 i rzeczywist\u0105 impedancj\u0119 $Z_A$ mo\u017cemy obliczy\u0107 wsp\u00f3\u0142czynnik odbicia i SWR. Zak\u0142adam, \u017ce impedancja falowa linii ma charakter wy\u0142\u0105cznie rzeczywisty (reaktancja jest r\u00f3wna zero). Dodatkowo znormalizowan\u0105 impedancj\u0119 $Z_A$ przedstawiono na wykresie Smitha.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Wej\u015bciowy SWR transformatora symetrycznego 1:9 przy linii o d\u0142ugo\u015bci 5% lambda – rys. 5<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
\"\"
Znormalizowana impedancja wej\u015bciowa transformatora symetrycznego 1:9 przy linii o d\u0142ugo\u015bci 5% lambda – rys. 6<\/figcaption><\/figure>\n\n\n

Optymalna warto\u015b\u0107 impedancji falowej jest r\u00f3wna $Z_0=16,668$, co w zasadzie pokrywa si\u0119 ze wzorem wyprowadzonym dla pojedynczej \u0107wier\u0107falowej linii w poprzedniej cz\u0119\u015bci: $Z_0=\\sqrt{Z_{A}Z_{B}}=16,673$, a minimalna rozbie\u017cno\u015b\u0107 wynika prawdopodobnie z b\u0142\u0119d\u00f3w zaokr\u0105gle\u0144. Mo\u017cna wnioskowa\u0107 wi\u0119c, \u017ce dla kr\u00f3tkich linii transmisyjnych wz\u00f3r ten jest prawdziwy. Warto zauwa\u017cy\u0107, \u017ce przy kr\u00f3tkiej linii SWR jest akceptowalny w szerokim zakresie.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Wej\u015bciowy SWR transformatora symetrycznego 1:9 przy linii o d\u0142ugo\u015bci 10% lambda – rys. 7<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
\"\"
Znormalizowana impedancja wej\u015bciowa transformatora symetrycznego 1:9 przy linii o d\u0142ugo\u015bci 10% lambda – rys. 8<\/figcaption><\/figure>\n\n\n

Podobnie jak poprzednio, dla linii o d\u0142ugo\u015bci 10% d\u0142ugo\u015bci fali optymalna impedancja falowa jest r\u00f3wna $Z_0=16,668$. Trzeba zauwa\u017cy\u0107 jednak, \u017ce tym razem SWR wzrasta znacznie szybciej. Minimum SWRu tak\u017ce podnios\u0142o si\u0119.
\nCo ciekawe, optymalna impedancja falowa linii nie zmienia si\u0119 wraz ze wzrostem jej d\u0142ugo\u015bci.<\/p>\n\n\n

Skoro optymalna impedancja falowa linii jest zawsze taka sama i r\u00f3wna, w tym przypadku, $Z_0=16,668$, to przyjmijmy j\u0105 jako sta\u0142\u0105 i sprawd\u017amy jak zmienia si\u0119 SWR w funkcji d\u0142ugo\u015bci linii. Ta zale\u017cno\u015b\u0107 jest bardzo istotna w przypadku dopasowa\u0144 szerokopasmowych, gdy elektryczna d\u0142ugo\u015b\u0107 linii d\u0142ugiej zmienia si\u0119 w zale\u017cno\u015bci od cz\u0119stotliwo\u015bci.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Wej\u015bciowy SWR transformatora symetrycznego 1:9 przy linii o impedancji 16,668 oma – rys. 9<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
\"\"
Znormalizowana impedancja wej\u015bciowa transformatora symetrycznego 1:9 przy linii o impedancji 16,668 oma – rys. 10<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Mo\u017cna tak\u017ce przyjrze\u0107 si\u0119, co dzieje si\u0119 dla linii o wi\u0119kszych d\u0142ugo\u015bciach.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Wej\u015bciowy SWR transformatora symetrycznego 1:9 przy linii o impedancji 16,668 oma i du\u017cych d\u0142ugo\u015bciach – rys. 11<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
\"\"
Znormalizowana impedancja wej\u015bciowa transformatora symetrycznego 1:9 przy linii o impedancji 16,668 oma i du\u017cych d\u0142ugo\u015bciach. Wykres ten przedstawia impedancj\u0119 dla linii o d\u0142ugo\u015bci maksymalnej r\u00f3wnej d\u0142ugo\u015bci fali. Przy wi\u0119kszych d\u0142ugo\u015bciach krzywa „zaczyna si\u0119 od nowa” i ostatecznie jest taka sama. – rys. 12<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Jak wida\u0107 wykresy te s\u0105 symetryczne wok\u00f3\u0142 punktu, gdzie linia osi\u0105ga d\u0142ugo\u015b\u0107 po\u0142owy fali. Ponadto ca\u0142y wykres powtarza si\u0119 co d\u0142ugo\u015b\u0107 fali i wynika to oczywi\u015bcie z w\u0142a\u015bciwo\u015bci funkcji trygonometrycznych sinus i kosinus, kt\u00f3re maj\u0105 okres 360 stopni, co odpowiada jednej d\u0142ugo\u015bci fali.
Przygl\u0105daj\u0105c si\u0119 tym wykresom mo\u017cna stwierdzi\u0107, \u017ce d\u0142ugo\u015b\u0107 linii w transformatorze powinna by\u0107 jak najmniejsza. Jednocze\u015bnie do\u015b\u0107 oczywist\u0105 rzecz\u0105 jest, \u017ce nie da si\u0119 zastosowa\u0107 linii o (praktycznie) zerowej d\u0142ugo\u015bci i oczekiwa\u0107, \u017ce uk\u0142ad taki b\u0119dzie dzia\u0142a\u0142. W zwi\u0105zku z tym transformatory na pasma KF nawija si\u0119 kr\u00f3tkimi przewodami (cz\u0119sto w okolicach 20-30 cm) na rdzeniach ferrytowych o du\u017cej przenikalno\u015bci w celu maksymalizacji sprz\u0119\u017cenia.<\/p>\n\n\n\n

Z uwagi na pocz\u0105tkowe za\u0142o\u017cenie o dozwolonych, w tym przypadku, d\u0142ugo\u015bciach linii (kt\u00f3ra nie mo\u017ce by\u0107 r\u00f3wna \u0107wierci d\u0142ugo\u015bci fali lub jej nieparzystej wielokrotno\u015bci), punkty odpowiadaj\u0105ce takim d\u0142ugo\u015bciom powinny zosta\u0107 wyrzucone z dziedziny i nie brane pod uwag\u0119 w tym wykresie. Teoretycznie (z matematycznego punktu widzenia) mo\u017cna by si\u0119 spodziewa\u0107 nieci\u0105g\u0142o\u015bci funkcji w takim punkcie, niemniej w \u017cadnych rzeczywistych uk\u0142adach nie mog\u0105 wyst\u0119powa\u0107 punktowe nieci\u0105g\u0142o\u015bci. Po przyjrzeniu si\u0119 rysunkowi 9 mo\u017cna zauwa\u017cy\u0107, \u017ce w jednym z takich punkt\u00f3w SWR jest troch\u0119 wi\u0119kszy od 1.9. Zaraz zajmiemy si\u0119 tym szczeg\u00f3lnym przypadkiem i sprawdzimy, czy odczytany z tego wykresu SWR jest poprawny.<\/p>\n\n\n\n

Linia o d\u0142ugo\u015bci \u0107wierci fali lub jej nieparzystej wielokrotno\u015bci – przypadek szczeg\u00f3lny<\/strong><\/p>\n\n\n

Przypadek szczeg\u00f3lny, bowiem tutaj nie zosta\u0142o spe\u0142nione za\u0142o\u017cenie o r\u00f3wno\u015bciach $U_4=U_2$ i $I_1=I_3$. Na pocz\u0105tku za\u0142\u00f3\u017cmy, \u017ce $L=\\frac{\\lambda}{4}$ (lub $\\frac{5\\lambda}{4}$, $\\frac{9\\lambda}{4}$ itd.), tak \u017ce $\\sin{\\beta L}=1$, a $\\cos{\\beta L}=0$.
\nZ prawa Ohma ustalamy najbardziej og\u00f3lny zestaw r\u00f3wna\u0144, opisuj\u0105cy ten obw\u00f3d:
\n\\begin{align*}
\nZ_A=\\frac{U_1}{I_1+I_2+I_3} \\\\
\nZ_B=\\frac{U_1+U_2+U_4}{I_2}
\n\\end{align*}
\nW pierwszym r\u00f3wnaniu za napi\u0119cie, a w drugim za pr\u0105dy, wstawiamy rozwi\u0105zania r\u00f3wnania linii d\u0142ugiej (podane wcze\u015bniej) oraz podstawiamy warto\u015bci funkcji trygonometrycznych:
\n\\begin{align*}
\nZ_A=\\frac{jI_{2}Z_{0}}{I_1+I_2+I_3} \\\\
\nZ_B=\\frac{jI_{2}Z_{0}-jI_{1}Z_{0}-jI_{3}Z_{0}}{I_2}
\n\\end{align*}<\/p>\n

Wy\u0142\u0105czamy $jZ_0$ z r\u00f3wna\u0144, odwracamy pierwsze i dodajemy oba r\u00f3wnania stronami. Otrzymujemy:
\n\\[ \\frac{Z_B}{jZ_0}+\\frac{jZ_0}{Z_A}=\\frac{2I_2}{I_2} \\]
\nUpraszczamy i przekszta\u0142camy, otrzymuj\u0105c:
\n\\[ Z_{A}=-\\frac{Z^2_0}{2jZ_{0}-Z_{B}} \\]
\nNiestety nie wida\u0107 tutaj nigdzie prze\u0142o\u017cenia 1:9. Zak\u0142adaj\u0105c, \u017ce chcemy dopasowa\u0107 impedancj\u0119 $Z_A=5,555$ do $Z_B=50$ (1:9), impedancja falowa linii musi by\u0107 r\u00f3wna $Z_0=15,72-j5,555$.
\nCo ciekawe, dla symetrycznego transformatora 1:4, w przypadku \u0107wier\u0107falowej linii, wymagana impedancja falowa jest r\u00f3wna $Z_0=\\sqrt{Z_{A}Z_{B}}$ (co jest do\u015b\u0107 proste do udowodnienia) i jest to taki sam wz\u00f3r, kt\u00f3ry wyprowadzili\u015bmy w cz\u0119\u015bci 1. Je\u015bli tutaj chcieliby\u015bmy go zastosowa\u0107, czyli u\u017cy\u0107 linii o impedancji $Z_0=\\sqrt{5,555*50}=16,667$, to w\u00f3wczas przy impedancji $Z_B=50$ rzeczywista wypadkowa impedancja $Z_A=3,85+j2,56$. Czy jest to wystarczaj\u0105co dobre dopasowanie? Po\u0142\u0105czenie impedancji $5,555$ z impedancj\u0105 $3,85+j2,56$ skutkuje $SWR=1,92$ w tym punkcie. Warto zauwa\u017cy\u0107, \u017ce obliczony tutaj SWR pokrywa si\u0119 z SWRem odczytanym z wykresu na rysunku 9.
\nPowstaje jeszcze pytanie: a co, gdy $\\sin{\\beta L}=-1$, czyli $L=\\frac{3\\lambda}{4}$ (lub $\\frac{7\\lambda}{4}$, $\\frac{11\\lambda}{4}$ itd.)? Sprawdzenie tego przypadku zostawiam czytelnikowi. Podpowiadam – ostateczny wynik si\u0119 nie zmienia.<\/p>\n\n\n\n

Na koniec uwaga: obliczenia tutaj wykonywa\u0142em sam, z czego wszystkie wzory i przekszta\u0142cenia wyprowadza\u0142em r\u0119cznie, na kartce. Je\u015bli jest gdzie\u015b b\u0142\u0105d lub co\u015b jest niezrozumia\u0142e, to prosz\u0119 o informacj\u0119.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Spis tre\u015bci:1. Linie d\u0142ugie, transformacja impedancji przez lini\u0119 d\u0142ug\u01052. Transformatory z linii d\u0142ugiej (transmission line transformers \u2013 TLT), transformator symetryczny 1:9 W poprzedniej cz\u0119\u015bci zaj\u0119li\u015bmy si\u0119 liniami d\u0142ugimi i ich w\u0142a\u015bciwo\u015bciami. W tym wpisie wykorzystamy te linie do budowy ciekawszego urz\u0105dzenia, jakim b\u0119dzie transformator impedancji. W technice w. cz., szczeg\u00f3lnie…\n","protected":false},"author":1,"featured_media":620,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[29,21,8,12],"tags":[41,40,42,43,46,19,39,17,37,32,35,36,45],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/607"}],"collection":[{"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=607"}],"version-history":[{"count":54,"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/607\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":774,"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/607\/revisions\/774"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/620"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=607"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=607"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=607"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}