{"id":525,"date":"2021-09-23T20:26:27","date_gmt":"2021-09-23T18:26:27","guid":{"rendered":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/?p=525"},"modified":"2022-01-23T22:20:46","modified_gmt":"2022-01-23T21:20:46","slug":"analiza-obwodow-transformujacych-impedancje-czesc-1-linie-dlugie-transformacja-impedancji-przez-linie-dluga","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/2021\/09\/23\/analiza-obwodow-transformujacych-impedancje-czesc-1-linie-dlugie-transformacja-impedancji-przez-linie-dluga\/","title":{"rendered":"Analiza obwod\u00f3w transformuj\u0105cych impedancj\u0119 – cz\u0119\u015b\u0107 1: linie d\u0142ugie, transformacja impedancji przez lini\u0119 d\u0142ug\u0105"},"content":{"rendered":"\n

Spis tre\u015bci:
1. Linie d\u0142ugie, transformacja impedancji przez lini\u0119 d\u0142ug\u0105
2. Transformatory z linii d\u0142ugiej (transmission line transformers \u2013 TLT), transformator symetryczny 1:9<\/a><\/p>\n\n\n\n

Oto pierwsza cz\u0119\u015b\u0107 nowej serii na tym blogu, kt\u00f3ra po\u015bwi\u0119cona b\u0119dzie teoretycznej analizie rozmaitych obwod\u00f3w transformuj\u0105cych impedancj\u0119. Wydaje mi si\u0119, \u017ce jest to temat po pierwsze ciekawy, a po drugie bardzo potrzebny konstruktorom. Je\u015bli zastanawiasz si\u0119, dlaczego uk\u0142ad cewki i kondensatora pozwala dopasowa\u0107 bardzo wiele anten lub dlaczego rozwarty na ko\u0144cu, \u0107wier\u0107falowy odcinek przewodu koncentrycznego zachowuje si\u0119 od drugiej strony jakby by\u0142 zwarty, to ta seria jest dla Ciebie. Nie ukrywam, \u017ce zainspirowa\u0142 mnie blog K6JCA<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

W tym wpisie powiemy sobie troch\u0119 o liniach d\u0142ugich (szczeg\u00f3lnie skupimy si\u0119 na przewodach koncentrycznych), wyprowadzimy wzory opisuj\u0105ce napi\u0119cia i pr\u0105dy w takiej linii oraz znajdziemy wz\u00f3r opisuj\u0105cy transformacj\u0119 impedancji przez lini\u0119 d\u0142ug\u0105 o okre\u015blonej d\u0142ugo\u015bci i impedancji falowej. Na wst\u0119pie zaznaczam, \u017ce nie b\u0119d\u0105 tutaj omawiane podstawy elektrotechniki i matematyki.<\/p>\n\n\n\n

Linia d\u0142uga to przew\u00f3d zbudowany z dw\u00f3ch przewodnik\u00f3w, s\u0142u\u017c\u0105cy do przenoszenia sygna\u0142\u00f3w. W kr\u00f3tkofalarstwie najcz\u0119stszym spotykanym typem linii d\u0142ugich jest przew\u00f3d koncentryczny lub symetryczny (tzw. drabinka). Linia d\u0142uga nie bez powodu nazywana jest d\u0142ug\u0105… Je\u015bli jej fizyczna d\u0142ugo\u015b\u0107 (a w zasadzie to elektryczna – istnieje wsp\u00f3\u0142czynnik skr\u00f3cenia, wi\u0119c fala w przewodniku b\u0119dzie kr\u00f3tsza ni\u017c w pr\u00f3\u017cni) stanowi znacz\u0105c\u0105 cz\u0119\u015b\u0107 d\u0142ugo\u015bci fali przesy\u0142anego sygna\u0142u, to linia taka zaczyna mie\u0107 istotny wp\u0142yw na pr\u0105dy i napi\u0119cia w obwodzie – czyli nie mo\u017cna zaniedba\u0107 jej wp\u0142ywu. Granica, przy kt\u00f3rej linia staje si\u0119 d\u0142ug\u0105, jest do\u015b\u0107 umowna i zale\u017cna od danego przypadku, ale bardzo bezpiecznie jest przyj\u0105\u0107, i\u017c linia o elektrycznej d\u0142ugo\u015bci 5% d\u0142ugo\u015bci fali jest ju\u017c lini\u0105 d\u0142ug\u0105.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Schematy linii d\u0142ugiej – rys. 1 (Mateusz Pasternak, Wikipedia, CC BY 2.5<\/a>)<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Linia d\u0142uga sk\u0142ada si\u0119 z dw\u00f3ch przewodnik\u00f3w oddzielonych izolatorem. Jak wiadomo, ka\u017cdy przewodnik posiada rezystancj\u0119, oznaczon\u0105 na rysunku przez R. Tak samo ka\u017cdy przewodnik z pr\u0105dem wytwarza pole magnetyczne, wi\u0119c ma w\u0142asn\u0105 indukcyjno\u015b\u0107, oznaczon\u0105 przez L. Pomi\u0119dzy dwoma przewodnikami tworzy si\u0119 pewna indukcyjno\u015b\u0107, oznaczona przez C. Dodatkowo izolator mi\u0119dzy przewodami nie jest doskona\u0142y i jego rezystancja jest sko\u0144czona (cho\u0107 bardzo du\u017ca), tutaj oznaczono konduktancj\u0119 izolatora G.<\/p>\n\n\n\n

W ka\u017cdej linii transmisyjnej przypadaj\u0105 jakie\u015b (okre\u015blone) warto\u015bci R, G, L i C na jednostk\u0119 d\u0142ugo\u015bci. Wielko\u015bci te zmieniaj\u0105 si\u0119 liniowo wraz ze zmian\u0105 d\u0142ugo\u015bci linii.
Rezystancja R i konduktancja G s\u0105 odpowiedzialne przede wszystkim za straty w linii d\u0142ugiej, natomiast indukcyjno\u015b\u0107 L i pojemno\u015b\u0107 C wyznaczaj\u0105 przede wszystkim impedancj\u0119 charakterystyczn\u0105 (falow\u0105) linii. Impedancja falowa linii d\u0142ugiej jest r\u00f3wna:<\/p>\n\n\n

\\[ Z_0=\\sqrt{\\frac{R+j\\omega L}{G+j\\omega C}} \\]<\/p>\n\n\n\n

Jest to liczba zespolona, a wynikowa impedancja jest zale\u017cna od wszystkich parametr\u00f3w linii. Mo\u017cna zauwa\u017cy\u0107, \u017ce w przypadku rzeczywistej (stratnej) linii impedancja ta jest r\u00f3wnie\u017c zale\u017cna od pulsacji, a wi\u0119c i cz\u0119stotliwo\u015bci. Dla uproszczenia oblicze\u0144 przyjmiemy, \u017ce linia jest bezstratna, tj. R=0 i G=0. W\u00f3wczas:<\/p>\n\n\n

\\[ Z_0=\\sqrt{\\frac{L}{C}} \\]<\/p>\n\n\n\n

Impedancja falowa jest taka sama w ka\u017cdym punkcie linii d\u0142ugiej, tzn. w ka\u017cdym punkcie linii d\u0142ugiej stosunek napi\u0119cia do pr\u0105du jest sta\u0142y i r\u00f3wny impedancji falowej (bardzo wa\u017cna w\u0142asno\u015b\u0107!):<\/p>\n\n\n

\\[ Z_0=\\frac{U(x)}{I(x)} \\]<\/p>\n\n\n\n

Fala elektromagnetyczna\/elektryczna w danym o\u015brodku rozchodzi si\u0119 ze sko\u0144czon\u0105 pr\u0119dko\u015bci\u0105. W przypadku pr\u00f3\u017cni fala EM rozchodzi si\u0119 z pr\u0119dko\u015bci\u0105 \u015bwiat\u0142a, wi\u0119c pokonanie jakiego\u015b dystansu zajmuje jej okre\u015blon\u0105 ilo\u015b\u0107 czasu. Nie inaczej jest w przypadku linii d\u0142ugich – w przewodnikach fala taka r\u00f3wnie\u017c rozchodzi si\u0119 z okre\u015blon\u0105 pr\u0119dko\u015bci\u0105 (mniejsz\u0105 ni\u017c pr\u0119dko\u015b\u0107 \u015bwiat\u0142a), wi\u0119c pokonanie d\u0142ugo\u015bci linii tak\u017ce zajmuje jej okre\u015blon\u0105 ilo\u015b\u0107 czasu, zatem wprowadzone jest op\u00f3\u017anienie, kt\u00f3re matematycznie opisujemy jako przesuni\u0119cie fazy.
Istotnym parametrem linii d\u0142ugiej jest sta\u0142a propagacji, okre\u015blaj\u0105ca t\u0142umienie i przesuni\u0119cie fazy sygna\u0142u przesy\u0142anego t\u0105 lini\u0105:<\/p>\n\n\n

\\[ \\gamma=\\sqrt{(R+j\\omega L)(G+j\\omega C)}=\\alpha +j\\beta \\]
\nGdzie $\\alpha$ to sta\u0142a t\u0142umienia (przyjmujemy lini\u0119 bezstratn\u0105, wi\u0119c sta\u0142a t\u0142umienia jest r\u00f3wna 0), a $\\beta$ to sta\u0142a fazowa, kt\u00f3ra okre\u015bla om\u00f3wione wy\u017cej op\u00f3\u017anienie (przesuni\u0119cie fazy) sygna\u0142u przewodzonego przez lini\u0119. Sta\u0142a fazowa jest liczbowo tym samym, co liczba falowa $k$ (znana z fizyki) i oznaczenia te s\u0105 zamiennie wykorzystywane.<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Napi\u0119cia i pr\u0105dy na ko\u0144cach linii d\u0142ugiej o danej d\u0142ugo\u015bci i impedancji falowej – rys. 2<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Do opisu linii d\u0142ugich u\u017cywa si\u0119 tzw. r\u00f3wna\u0144 telegrafist\u00f3w, kt\u00f3re wyprowadza si\u0119 z przedstawionego wy\u017cej (rys. 1) elektrycznego modelu linii d\u0142ugiej. Jest to zestaw dw\u00f3ch r\u00f3wna\u0144 r\u00f3\u017cniczkowych opisuj\u0105cych napi\u0119cie oraz pr\u0105d w dowolnym punkcie linii. Dla linii bezstratnej, w stanie ustalonym sinusoidalnym, r\u00f3wnania te wygl\u0105daj\u0105 nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n\n\n

\\begin{align*}
\n\\frac{d^2U}{dx^2}+\\beta^2U=0 \\\\
\n\\frac{d^2I}{dx^2}+\\beta^2I=0
\n\\end{align*}<\/p>\n\n\n\n

Ich rozwi\u0105zania wygl\u0105daj\u0105 nast\u0119puj\u0105co:<\/p>\n\n\n

\\begin{align*}
\nU(x)=U_{+}e^{-j\\beta x}+U_{-}e^{j\\beta x} \\\\
\nI(x)=I_{+}e^{-j\\beta x}-I_{-}e^{j\\beta x}
\n\\end{align*}
\nW linii d\u0142ugiej fala mo\u017ce porusza\u0107 si\u0119 w dwie strony, z tego powodu we wzorze pojawiaj\u0105 si\u0119 napi\u0119cia oznaczone przez $U_+$ i $U_-$ oraz odpowiadaj\u0105ce im pr\u0105dy $I_+$ i $I_-$, gdzie indeks $+$ oznacza fal\u0119 post\u0119puj\u0105c\u0105 (poruszaj\u0105c\u0105 si\u0119 w prawo), a indeks $-$ fal\u0119 odbit\u0105 (poruszaj\u0105c\u0105 si\u0119 w lewo). Jak nietrudno zauwa\u017cy\u0107, w podanych wzorach wypadkowe napi\u0119cie jest sum\u0105 napi\u0119\u0107 sk\u0142adowych, a wypadkowy pr\u0105d jest r\u00f3\u017cnic\u0105 pr\u0105du fali post\u0119puj\u0105cej i odbitej. Takie rozumowanie jest poprawne dla za\u0142o\u017ce\u0144 jak na rysunku 2, gdzie pr\u0105dy w g\u00f3rnej ga\u0142\u0119zi p\u0142yn\u0105 w praw\u0105 stron\u0119, a napi\u0119cia zwr\u00f3cone s\u0105 „do g\u00f3ry”.
\nPrzyjmijmy, \u017ce operujemy na warto\u015bciach w punkcie $x$, wi\u0119c porzu\u0107my $(x)$. U\u017cywaj\u0105c wzor\u00f3w Eulera, mo\u017cna r\u00f3wnania te roz\u0142o\u017cy\u0107 na posta\u0107 trygonometryczn\u0105.
\n\\begin{align*}
\nU=U_{+}(\\cos{\\beta x}-j\\sin{\\beta x})+U_{-}(\\cos{\\beta x}+j\\sin{\\beta x}) \\\\
\nI=I_{+}(\\cos{\\beta x}-j\\sin{\\beta x})-I_{-}(\\cos{\\beta x}+j\\sin{\\beta x})
\n\\end{align*}
\nB\u0119d\u0105 to kluczowe wzory przy dalszych rozwa\u017caniach nt. linii d\u0142ugich.
\nR\u00f3wnania te zawieraj\u0105 funkcje trygonometryczne, kt\u00f3re opisuj\u0105 przesuni\u0119cia op\u00f3\u017anienia napi\u0119cia i pr\u0105du (przesuni\u0119cie faz), bo sygna\u0142 potrzebuje sko\u0144czonego czasu na przebycie ca\u0142ej d\u0142ugo\u015bci linii. We wzorach przez $x$ oznaczono odleg\u0142o\u015b\u0107 od jednego ko\u0144ca linii, a przez $\\beta$, om\u00f3wion\u0105 wcze\u015bniej, sta\u0142\u0105 fazow\u0105, kt\u00f3ra r\u00f3wna jest $\\beta=\\frac{2\\pi f}{Kc}=\\frac{2\\pi K}{\\lambda}$, gdzie $f$ jest cz\u0119stotliwo\u015bci\u0105, $c$ pr\u0119dko\u015bci\u0105 \u015bwiat\u0142a, $K$ wsp\u00f3\u0142czynnikiem skr\u00f3cenia fali, a $\\lambda$ d\u0142ugo\u015bci\u0105 fali w pr\u00f3\u017cni. Ca\u0142o\u015bciowo $\\beta x$ jest k\u0105tem przesuni\u0119cia fali po przej\u015bciu przez odcinek linii d\u0142ugiej o d\u0142ugo\u015bci $x$, np. dla $x=\\frac{\\lambda}{4}$ (przy uwzgl\u0119dnieniu wsp\u00f3\u0142czynnika skr\u00f3cenia) k\u0105t ten jest r\u00f3wny $\\frac{\\pi}{2}$.<\/p>\n\n\n

Mo\u017cemy teraz wyznaczy\u0107 napi\u0119cia i pr\u0105dy na ko\u0144cach linii d\u0142ugiej. Na pocz\u0105tek wyznaczymy $U_2$ i $I_2$ (prawa strona linii), kt\u00f3re b\u0119d\u0105 zale\u017cne od $U_1$ i $I_1$ (lewa strona linii) – b\u0119dzie to punkt odniesienia. Zak\u0142adamy, \u017ce warto\u015bci na prawo od $x=0$ s\u0105 dodatnie, a na lewo – ujemne. Innymi s\u0142owy warto\u015bci na osi $x$ „rosn\u0105 w prawo”. Punkt odniesienia traktujemy jako punkt $x=0$ i podstawiamy do wzoru. Otrzymujemy:
\n\\begin{align*}
\nU_1=U_{+}(\\cos{0}-j\\sin{0})+U_{-}(\\cos{0}+j\\sin{0}) \\\\
\nI_1=I_{+}(\\cos{0}-j\\sin{0})-I_{-}(\\cos{0}+j\\sin{0})
\n\\end{align*}
\nzatem:
\n\\begin{align*}
\nU_1=U_{+}+U_{-} \\\\
\nI_1=I_{+}-I_{-}
\n\\end{align*}
\nWiedz\u0105c, \u017ce $I_x=\\frac{U_x}{Z_0}$ (\u017ceby pozby\u0107 si\u0119 pr\u0105d\u00f3w) przekszta\u0142camy r\u00f3wnania i otrzymujemy:
\n\\begin{align*}
\nU_+=\\frac{U_1+I_{1}Z_0}{2} \\\\
\nU_-=\\frac{U_1-I_{1}Z_0}{2}
\n\\end{align*}
\nFala pokonuje drog\u0119 od punktu $x=0$ do $x=L$, wi\u0119c przemieszczenie jest r\u00f3wne $L$ – istnieje niezerowe op\u00f3\u017anienie (przesuni\u0119cie fazy) fali przy przemieszczaniu si\u0119 jej z lewego do prawego ko\u0144ca linii. Pr\u0105dy i napi\u0119cia s\u0105 zgodne na ca\u0142ej d\u0142ugo\u015bci linii (zgodnie z rysunkiem), wi\u0119c ponownie korzystamy z tego samego wzoru i podstawiamy warto\u015bci. Otrzymujemy:
\n\\begin{align*}
\nU_2=U_{+}(\\cos{\\beta L}-j\\sin{\\beta L})+U_{-}(\\cos{\\beta L}+j\\sin{\\beta L}) \\\\
\nI_2=I_{+}(\\cos{\\beta L}-j\\sin{\\beta L})-I_{-}(\\cos{\\beta L}+j\\sin{\\beta L})
\n\\end{align*}
\nWstawiamy wyznaczone wcze\u015bniej $U_+$ i $U_-$ (napi\u0119cia w punkcie odniesienia) i otrzymujemy ostatecznie:
\n\\begin{align*}
\nU_2=U_{1}\\cos{\\beta L}-jI_{1}Z_{0}\\sin{\\beta L} \\\\
\nI_2=I_{1}\\cos{\\beta L}-j\\frac{U_{1}}{Z_{0}}\\sin{\\beta L}
\n\\end{align*}<\/p>\n\n\n

Analogiczne rozumowanie przeprowadzimy, \u017ceby wyprowadzi\u0107 wzory na $U_1$ i $I_1$ w zale\u017cno\u015bci od $U_2$ i $I_2$ (czyli w drug\u0105 stron\u0119). Tym razem punktem odniesienia jest prawa strona, wi\u0119c w tym miejscu przyjmujemy $x=0$:
\n\\begin{align*}
\nU_2=U_{+}+U_{-} \\\\
\nI_2=I_{+}-I_{-}
\n\\end{align*}
\nTrzeba zauwa\u017cy\u0107, \u017ce nadal fala post\u0119puj\u0105ca przemieszcza si\u0119 w prawo, a odbita w lewo.
\nPodobnie przekszta\u0142camy i otrzymujemy:
\n\\begin{align*}
\nU_+=\\frac{U_2+I_{2}Z_0}{2} \\\\
\nU_-=\\frac{U_2-I_{2}Z_0}{2}
\n\\end{align*}
\nTutaj jednak nast\u0119puje pewna zmiana. Przyj\u0119li\u015bmy praw\u0105 stron\u0119 linii jako punkt odniesienia $x=0$, a tak\u017ce \u017ce warto\u015bci na osi rosn\u0105 w prawo, zatem lewa strona linii le\u017cy w punkcie $x=-L$, tym samym przemieszczenie fali jest r\u00f3wne $-L$.
\n\\begin{align*}
\nU_1=U_{+}(\\cos{\\beta L}+j\\sin{\\beta L})+U_{-}(\\cos{\\beta L}-j\\sin{\\beta L}) \\\\
\nI_1=I_{+}(\\cos{\\beta L}+j\\sin{\\beta L})-I_{-}(\\cos{\\beta L}-j\\sin{\\beta L})
\n\\end{align*}
\nFunkcja cosinus jest parzysta, zatem $-$ w jej argumencie znika. Sinus jest nieparzysty, wi\u0119c $-$ mo\u017cna przenie\u015b\u0107 z argumentu do warto\u015bci funkcji. W por\u00f3wnaniu z poprzednimi wzorami zmieni\u0142y si\u0119 tylko znaki przed funkcjami $sin$.
\nPonownie podstawiamy obliczone $U_+$ i $U_-$ i otrzymujemy ostatecznie:
\n\\begin{align*}
\nU_1=U_{2}\\cos{\\beta L}+jI_{2}Z_{0}\\sin{\\beta L} \\\\
\nI_1=I_{2}\\cos{\\beta L}+j\\frac{U_{2}}{Z_{0}}\\sin{\\beta L}
\n\\end{align*}<\/p>\n\n\n

Zdecydowanie najgorsze ju\u017c za nami. Celem tej serii jest om\u00f3wienie mechanizm\u00f3w transformacji impedancji, a linie d\u0142ugie „potrafi\u0105” impedancje przekszta\u0142ca\u0107. Na rysunku poni\u017cej zaprezentowano lini\u0119 d\u0142ug\u0105 obci\u0105\u017con\u0105 impedancj\u0105. Powstaje pytanie, jaka b\u0119dzie impedancja „widziana” z drugiego ko\u0144ca linii?<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Linia d\u0142uga obci\u0105\u017cona impedancj\u0105 – rys. 3<\/figcaption><\/figure>\n\n\n

Przyjmujemy jak poprzednio, tzn. po prawej stronie linii napi\u0119cie $U_2$ i pr\u0105d $I_2$, a po lewej $U_1$ i $I_1$, napi\u0119cia zwr\u00f3cone do g\u00f3ry, a pr\u0105dy p\u0142yn\u0105 w prawo w g\u00f3rnej ga\u0142\u0119zi. Korzystamy z wyprowadzonych wzor\u00f3w na $U_1$ i $U_2$ i prawa Ohma, kt\u00f3re m\u00f3wi, \u017ce $Z_1=\\frac{U_1}{I_1}$, zatem:
\n\\[ Z_1=\\frac{U_{2}\\cos{\\beta L}+jI_{2}Z_{0}\\sin{\\beta L}}{I_{2}\\cos{\\beta L}+j\\frac{U_{2}}{Z_{0}}\\sin{\\beta L}} \\]
\nZ prawa Ohma wiadomo tak\u017ce, \u017ce $Z_2=\\frac{U_2}{I_2}$, wi\u0119c u\u0142amek po prawej stronie r\u00f3wnania mo\u017cna skr\u00f3ci\u0107 (podzieli\u0107 licznik i mianownik) przez $I_2$, w\u00f3wczas:
\n\\[ Z_1=\\frac{Z_{2}\\cos{\\beta L}+jZ_{0}\\sin{\\beta L}}{\\cos{\\beta L}+j\\frac{Z_{2}}{Z_{0}}\\sin{\\beta L}} \\]
\nJest to og\u00f3lny wz\u00f3r pozwalaj\u0105cy obliczy\u0107 impedancj\u0119 na drugim ko\u0144cu linii d\u0142ugiej.<\/p>\n\n\n

Przy tej okazji przytocz\u0119 wa\u017cne twierdzenie (kt\u00f3re jest w pewnym sensie definicj\u0105 impedancji falowej), kt\u00f3re m\u00f3wi, \u017ce je\u015bli lini\u0119 d\u0142ug\u0105 o impedancji $Z_0$ obci\u0105\u017cymy impedancj\u0105 $Z_2$, kt\u00f3ra jest r\u00f3wna impedancji falowej linii, to impedancja $Z_1$ „widziana” z drugiej strony linii b\u0119dzie r\u00f3wna tym impedancjom, tzn. je\u015bli $Z_2=Z_0$, to $Z_1=Z_2=Z_0$. Udowodnienie tego jest proste. Korzystamy z wyprowadzonego przed chwil\u0105 wzoru i podstawiamy $Z_2=Z_0$:
\n\\[ Z_1=\\frac{Z_{0}\\cos{\\beta L}+jZ_{0}\\sin{\\beta L}}{\\cos{\\beta L}+j\\sin{\\beta L}} \\]
\nWy\u0142\u0105czamy $Z_0$ przed nawias, a reszta si\u0119 upraszcza. Ostatecznie:
\n\\[ Z_1=Z_0 \\]
\nJest to przypadek zwany dopasowaniem falowym. Wida\u0107, \u017ce przy takim dopasowaniu linia d\u0142uga jest „przezroczysta” i impedancja nie jest zale\u017cna od d\u0142ugo\u015bci linii. Je\u015bli \u0142\u0105czymy dobrze dostrojon\u0105 anten\u0119 z nadajnikiem (czyli ich impedancje s\u0105 r\u00f3wne), to d\u0142ugo\u015b\u0107 przewodu nie b\u0119dzie mia\u0142a \u017cadnego wp\u0142ywu na SWR (o ile sam przew\u00f3d nie wprowadza znacz\u0105cych strat ani nie jest cz\u0119\u015bci\u0105 anteny).<\/p>\n\n\n

Kolejn\u0105 ciekaw\u0105 w\u0142a\u015bciwo\u015bci\u0105 jest transformacja impedancji przez \u0107wier\u0107falow\u0105 lini\u0119 d\u0142ug\u0105, np. \u0107wier\u0107falowa linia zwarta na jednym ko\u0144cu jest widoczna z drugiego ko\u0144ca jako rozwarta, a rozwarta – jako zwarta. Taka w\u0142a\u015bciwo\u015b\u0107 jest do\u015b\u0107 cz\u0119sto przytaczana w r\u00f3\u017cnych rozwa\u017caniach, a tak\u017ce wykorzystywana np. w filtrach czy prze\u0142\u0105cznikach, wi\u0119c teraz udowodnimy, \u017ce tak rzeczywi\u015bcie jest.
\nZaczniemy od wyznaczenia warto\u015bci przesuni\u0119\u0107 fazy. Linia o d\u0142ugo\u015bci $\\frac{\\lambda}{4}$ (\u0107wier\u0107falowa) przesuwa fal\u0119 o \u0107wier\u0107 jej d\u0142ugo\u015bci, co k\u0105towo daje 90 stopni, czyli $\\frac{\\pi}{2}$ radian\u00f3w. Tym samym $\\beta x=\\frac{\\pi}{2}$, a wi\u0119c $\\sin{\\beta x}=1$ i $\\cos{\\beta x}=0$. Podstawiamy do wzoru i otrzymujemy:
\n\\[ Z_1=\\frac{jZ_{0}}{j\\frac{Z_{2}}{Z_{0}}} \\]
\nPo dodatkowym uproszczeniu:
\n\\[ Z_1=\\frac{Z^{2}_{0}}{Z_2} \\]
\nOczywi\u015bcie zwarcie linii na ko\u0144cu powoduje, \u017ce $Z_2=0$ i warto\u015b\u0107 ca\u0142ego u\u0142amka d\u0105\u017cy do niesko\u0144czono\u015bci, wi\u0119c impedancja na wej\u015bciu r\u00f3wnie\u017c d\u0105\u017cy do niesko\u0144czono\u015bci (co interpretujemy jako rozwarcie). Odwrotnie dzieje si\u0119 dla rozwarcia: $Z_2=\\infty$, warto\u015b\u0107 u\u0142amka i impedancji wej\u015bciowej d\u0105\u017cy do 0. Ale z tego r\u00f3wnania mo\u017cna wyci\u0105gn\u0105\u0107 jeszcze wi\u0119cej. Po prostym przekszta\u0142ceniu otrzymujemy wz\u00f3r, kt\u00f3ry do\u015b\u0107 cz\u0119sto przewija si\u0119 w temacie transformator\u00f3w, fazowania anten itp.:
\n\\[ \\sqrt{Z_{1}Z_{2}}=Z_{0} \\]
\nWynika z niego, \u017ce do dopasowania dw\u00f3ch r\u00f3\u017cnych impedancji $Z_1$ i $Z_2$ wystarczy u\u017cy\u0107 \u0107wier\u0107falowej linii d\u0142ugiej o okre\u015blonej impedancji $Z_0$. Warto go zapami\u0119ta\u0107. Ponadto mo\u017cna skorzysta\u0107 z w\u0142asno\u015bci funkcji trygonometrycznych i zauwa\u017cy\u0107, \u017ce taki sam efekt da zastosowanie linii o d\u0142ugo\u015bci r\u00f3wnej nieparzystej wielokrotno\u015bci \u0107wierci d\u0142ugo\u015bci fali.<\/p>\n\n\n\n

Jako dodatek rozwa\u017cymy jeszcze przypadek takiej samej linii d\u0142ugiej, ale z inaczej oznaczonymi pr\u0105dami. Ta analiza ma na celu zapobieganie b\u0142\u0119dom podczas u\u017cywania wzor\u00f3w bez zrozumienia ich w ca\u0142o\u015bci. Oznaczmy napi\u0119cia i pr\u0105dy na linii d\u0142ugiej jak pokazano na rysunku 4:<\/p>\n\n\n\n

\"\"
Napi\u0119cia i pr\u0105dy na ko\u0144cach linii d\u0142ugiej o danej d\u0142ugo\u015bci i impedancji falowej (oznaczenia alternatywne) – rys. 4 <\/figcaption><\/figure>\n\n\n

Tutaj pr\u0105dy maj\u0105 przeciwne zwroty. Bez uwzgl\u0119dniania przesuni\u0119\u0107 fazy (przyjmujemy ca\u0142y czas $x=0$) pr\u0105d $I_1=I_{+}-I_{-}$ (tak jak poprzednio), natomiast $I_2=-(I_{+}-I_{-})$, czyli pr\u0105d $I_2$ jest po prostu przeciwny. Przeprowadzamy rozumowanie jak poprzednio, tzn. przyjmujemy lew\u0105 stron\u0119 za punkt odniesienia $x=0$, w\u00f3wczas po przekszta\u0142ceniach:
\n\\begin{align*}
\nU_+=\\frac{U_1+I_{1}Z_0}{2} \\\\
\nU_-=\\frac{U_1-I_{1}Z_0}{2}
\n\\end{align*}
\nS\u0105 to te same wzory, co poprzednio, bo pr\u0105d po lewej jest zwr\u00f3cony w t\u0119 sam\u0105 stron\u0119.
\nPrzypominamy rozwi\u0105zania r\u00f3wna\u0144 telegrafist\u00f3w, ale teraz pr\u0105d $I_2$ b\u0119dzie przeciwny (jak ustalili\u015bmy wcze\u015bniej). Przemieszczenie po linii jest r\u00f3wne $L$, zatem:
\n\\begin{align*}
\nU_2=U_{+}(\\cos{\\beta L}-j\\sin{\\beta L})+U_{-}(\\cos{\\beta L}+j\\sin{\\beta L}) \\\\
\nI_2=-(I_{+}(\\cos{\\beta L}-j\\sin{\\beta L})-I_{-}(\\cos{\\beta L}+j\\sin{\\beta L}))
\n\\end{align*}
\nUwaga! Nie mo\u017cemy po prostu zamieni\u0107 miejscami pr\u0105du fali post\u0119puj\u0105cej i odbitej, bo s\u0105 one powi\u0105zane z przesuni\u0119ciami fazy.
\nOstatecznie otrzymujemy:
\n\\begin{align*}
\nU_2=U_{1}\\cos{\\beta L}-jI_{1}Z_{0}\\sin{\\beta L} \\\\
\nI_2=-I_{1}\\cos{\\beta L}+j\\frac{U_{1}}{Z_{0}}\\sin{\\beta L}
\n\\end{align*}<\/p>\n\n\n

Analogiczne rozumowanie przeprowadzimy dla drugiej strony linii. Przyjmujemy za punkt odniesienia praw\u0105 stron\u0119. Trzeba zauwa\u017cy\u0107, \u017ce tutaj pr\u0105d skierowany jest w przeciwn\u0105 stron\u0119, wi\u0119c $I_2=I_{-}-I_{+}$.
\n\\begin{align*}
\nU_+=\\frac{U_1-I_{1}Z_0}{2} \\\\
\nU_-=\\frac{U_1+I_{1}Z_0}{2}
\n\\end{align*}
\nJak wida\u0107, tym razem znaki przy pr\u0105dach zosta\u0142y odwr\u00f3cone.
\nKorzystamy z rozwi\u0105za\u0144 r\u00f3wna\u0144 telegrafist\u00f3w. Pr\u0105d $I_1$ pozostaje skierowany w prawo, wi\u0119c nie b\u0119dziemy zmienia\u0107 znaku. Oczywi\u015bcie tym razem przemieszczenie jest r\u00f3wne $-L$:
\n\\begin{align*}
\nU_1=U_{+}(\\cos{\\beta L}+j\\sin{\\beta L})+U_{-}(\\cos{\\beta L}-j\\sin{\\beta L}) \\\\
\nI_1=-(I_{+}(\\cos{\\beta L}+j\\sin{\\beta L})-I_{-}(\\cos{\\beta L}-j\\sin{\\beta L}))
\n\\end{align*}
\nOstatecznie:
\n\\begin{align*}
\nU_1=U_{2}\\cos{\\beta L}-jI_{2}Z_{0}\\sin{\\beta L} \\\\
\nI_1=-I_{2}\\cos{\\beta L}+j\\frac{U_{2}}{Z_{0}}\\sin{\\beta L}
\n\\end{align*}
\nCo ciekawe, r\u00f3wnania na pr\u0105dy i napi\u0119cia po obydwu stronach linii maj\u0105 tak\u0105 sam\u0105 form\u0119. Sta\u0142o si\u0119 tak dlatego, \u017ce nie wyst\u0119puje tutaj „asymetria”, tzn. z obydwu stron pr\u0105dy wp\u0142ywaj\u0105 do linii. W przypadku, kt\u00f3ry rozwa\u017cali\u015bmy jako pierwszy, taka „asymetria” wyst\u0119puje (z jednej strony pr\u0105d wp\u0142ywa, z drugiej wyp\u0142ywa), wi\u0119c r\u00f3wnania maj\u0105 r\u00f3\u017cne formy.<\/p>\n\n\n\n

W nast\u0119pnej cz\u0119\u015bci<\/a> zajmujemy si\u0119 praktycznym wykorzystaniem linii d\u0142ugich w budowie transformator\u00f3w TLT oraz analizujemy symetryczny transformator 1:9.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"Spis tre\u015bci:1. Linie d\u0142ugie, transformacja impedancji przez lini\u0119 d\u0142ug\u01052. Transformatory z linii d\u0142ugiej (transmission line transformers \u2013 TLT), transformator symetryczny 1:9 Oto pierwsza cz\u0119\u015b\u0107 nowej serii na tym blogu, kt\u00f3ra po\u015bwi\u0119cona b\u0119dzie teoretycznej analizie rozmaitych obwod\u00f3w transformuj\u0105cych impedancj\u0119. Wydaje mi si\u0119, \u017ce jest to temat po pierwsze ciekawy, a po…\n","protected":false},"author":1,"featured_media":577,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"ngg_post_thumbnail":0},"categories":[29,1,8,12],"tags":[19,30,31,33,34,17,32,11],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/525"}],"collection":[{"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=525"}],"version-history":[{"count":85,"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/525\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":772,"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/525\/revisions\/772"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/577"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=525"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=525"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/sq8l.pzk.pl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=525"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}